n² + 3n - 18 est-il premier ? - Corrigé

Énoncé

Soit $n\in \mathbb{N}$ supérieur ou égal à $3$ .

Existe-t-il des valeurs de $n$ telles que le nombre $N=n^2+3n-18$ soit un nombre premier ?

Solution

Le discriminant du polynôme $x^2+3x-18$ est $\mathrm{\Delta }=3^2-4\times 1\times (-18)=81$ .

Comme $\mathrm{\Delta }=81>0$ , ce polynôme possède deux racines réelles données par
$\begin{array}{r}{x}_1=\frac{-3-\sqrt{81}}{2\times 1}=\frac{-3-9}{2}=\frac{-12}{2}=-6\end{array}$  
et  $\begin{array}{r}{x}_2=\frac{-3+\sqrt{81}}{2\times 1}=\frac{-3+9}{2}=\frac{6}{2}=3\end{array}$  
et l'on en déduit que $N=n^2+3n-18=(n+6)(n-3)$ .

Ainsi :

• si $n=3$ , alors $N=0$ n'est pas premier ;
• si $n=4$ , alors $N=(4+6)(4-3)=10\times 1=10$ n'est pas premier ;
• si $n⩾5$ , alors $N=(n+6)(n-3)$ est le produit de deux entiers naturels supérieurs ou égaux à $2$ , donc n'est pas premier.

Finalement, il n'existe pas d'entier $n$ supérieur ou égal à $3$ tel que $N$ soit premier.